Deflexión en Vigas Métodos Geométricos
Los requisitos de servicio limitan la deflexión máxima permitida en un elemento estructural sometido a cargas externas. Una deflexión excesiva puede resultar en la incomodidad de la ocupación de una estructura determinada y también puede dañar su estética. La mayoría de los códigos y normas proporcionan la deflexión máxima permitida para cargas muertas y cargas vivas superpuestas. Para garantizar que la deflexión máxima posible que podría ocurrir bajo una carga determinada esté dentro de un valor aceptable, generalmente se analiza la deflexión del componente estructural y el valor de deflexión máxima determinado se compara con los valores especificados en los códigos y normas de práctica.
Existen varios métodos para determinar la deflexión de una viga o marco. La elección de un método particular depende de la naturaleza de la carga y del tipo de problema que se resuelve. Algunos de los métodos utilizados en este capítulo incluyen el método de doble integración, el método de función de singularidad, el método de momento-área, el método de carga unitaria, el método de trabajo virtual y los métodos de energía.
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Derivación de la ecuación de la curva elástica de una viga
La curva elástica de una viga es el eje de una viga deflectada, como se indica en la Figura 7.1a
Para derivar la ecuación de la curva elástica de una viga, primero deriva la ecuación de flexión.
Considere la porción cdef de la viga que se muestra en la figura 7.1a , sometida a un momento puro, M , para derivar la ecuación de flexión. Debido al momento aplicado M , las fibras por encima del eje neutro de la viga se alargarán, mientras que las que están por debajo del eje neutro se acortarán. Sea O el centro y R el radio de curvatura de la viga, y sea ij el eje de la viga curva. La viga subtiende un ángulo θ en O. Y sea σ la tensión longitudinal en un filamento gℎ a una distancia y del eje neutro.
Desde la geometría, la longitud del eje neutro del haz ij y la del filamento gℎ , ubicado a una distancia y del eje neutro del haz, se puede calcular de la siguiente manera: Deflexión de Vigas
La deformación ε en el filamento se puede calcular de la siguiente manera:
Para un material elástico lineal, en el que se aplica la ley de Hooke, la ecuación 7.1 se puede escribir de la siguiente manera:
Si un área elemental δA a una distancia y del eje neutro de la viga (ver Figura 7.1c ) se somete a un esfuerzo de flexión σ , la fuerza elemental sobre esta área se puede calcular de la siguiente manera:
La fuerza sobre toda la sección transversal de la viga será entonces:
Desde la consideración del equilibrio estático, el momento externo M en la viga está equilibrado por los momentos alrededor del eje neutro de las fuerzas internas desarrolladas en una sección de la viga. De este modo,
Sustituir
la ecuación 7.2 por la ecuación 7.5 sugiere lo siguiente:
Poner I = ∫ y 2 δA en la ecuación 7.6 sugiere lo siguiente:
dónde
I = el momento de inercia o el segundo momento de área de la sección. La combinación de las ecuaciones 7.2 y 7.7 sugiere lo siguiente:
La ecuación de la curva elástica de una viga se puede encontrar utilizando los siguientes métodos. Deflexión de Vigas Desde el cálculo diferencial, la curvatura en cualquier punto a lo largo de una curva se puede expresar de la siguiente manera:
dónde
son la primera y segunda derivada de la función que representa la curva en términos de las coordenadas cartesianas x e y . Dado que se supone que la viga de la Figura 7.1 es homogénea y se comporta de manera elástica lineal, su deflexión bajo flexión es pequeña. Por tanto, la cantidad
que representa la pendiente de la curva en cualquier punto de la viga deformada, también será pequeña. Como
es insignificante, la ecuación 7.9 podría simplificarse de la siguiente manera:
La combinación de las ecuaciones 7.2 y 7.10 sugiere lo siguiente:
Reordenando la ecuación 7.11 se obtiene lo siguiente:
La ecuación 7.12 se conoce como ecuación diferencial de la curva elástica de una viga.
Deflexión por el método de doble integración
La deflexión por doble integración también se denomina deflexión por el método de integración directa o constante. Este método implica obtener la deflexión de una viga integrando dos veces la ecuación diferencial de la curva elástica de una viga y utilizando condiciones de contorno para determinar las constantes de integración. La primera integración da la pendiente y la segunda integración da la deflexión. Este método es mejor cuando hay continuidad en la carga aplicada.
Una viga en voladizo está sujeta a una combinación de cargas, como se muestra en la Figura 7.2a . Utilizando el método de doble integración, determine la pendiente y la deflexión en el extremo libre.
Solución
Ecuación para el momento flector. Pasar una sección a una distancia x del extremo libre de la viga, como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la Figura 7.2b , y considerar el momento a la derecha de la sección sugiere lo siguiente:
Sustituir M en la ecuación 7.12 sugiere lo siguiente:
Ecuación de pendiente. Integrar con respecto a x sugiere lo siguiente:
Observe que en el extremo fijo donde
esto se conoce como condición de contorno. La aplicación de estas condiciones de contorno a la ecuación 3 sugiere lo siguiente:
Para obtener la siguiente ecuación de pendiente, sustituya el valor calculado de C 1 en la siguiente ecuación 3 :
Ecuación de deflexión. La integración de la ecuación 4 sugiere lo siguiente:
En el extremo fijo x = L , y = 0. La aplicación de estas condiciones de contorno a la ecuación 5 sugiere lo siguiente:
Para obtener la siguiente ecuación de curva elástica, sustituya el valor calculado de C 2 en la ecuación 5 , de la siguiente manera:
La pendiente en el extremo libre, es decir,
en x = 0
La deflexión en el extremo libre, es decir, y en x = 0
