Movimiento del agua en medios porosos no lineales

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Movimiento del agua en medios porosos no lineales

Al realizar estudios de filtración del agua a través de medios porosos finos, como el núcleo de arcilla de una presa de materiales sueltos, se considera una relación lineal entre el gradiente de carga y la velocidad de filtración, de acuerdo con la conocida ley de Darcy.

La experiencia ha demostrado que en medios granulares gruesos (escolleras, gravas y arenas gruesas) esta ley no es válida, pues dicha relación no es lineal. En este sentido podemos hablar de medios porosos no lineales. Como ejemplo de ello podemos citar la filtración en acuíferos de grano grueso o en materiales granulares utilizados como elemento de drenaje.

También es el caso de la circulación de agua que se establece por el interior del espaldón de una presa de escollera cuando excepcionalmente, debido a la insuficiencia de capacidad de su aliviadero, durante una avenida el agua llega a pasar sobre su coronación. Actualmente, las distintas administraciones hidráulicas de gran número de países están abordando el estudio y mejora de la seguridad de sus presas, teniendo en este contexto una importancia singular el problema del sobrevertido en presas de materiales sueltos, pues ha sido causa de gran número de roturas en este tipo de presas.

2. Fórmula de resistencia

Diversos autores han propuesto leyes alternativas para medios no lineales, siendo las más usadas las leyes cuadrática y exponencial.

Ley cuadrática:

(1)

i = a V_{d} + b V_{d}^{2} a, b : constantes .

Ley exponencial:

(2)

i = c V_{d}^{m} c, m : constantes caracter \overset{´}{ı} sticas del material .

Siendo i el gradiente hidráulico y Vd la velocidad de filtración. Esta última se define como la relación entre el caudal filtrado y la sección de paso total, incluidos huecos y esqueleto sólido.

George y Hansen (1992) obtuvieron unas fórmulas que permiten determinar los coeficientes de la fórmula cuadrática a partir del coeficiente y el exponente de la fórmula exponencial y viceversa.

Conversión de

i = c V_{d}^{m}

i = a V_{d} + b V_{d}^{2}

(3)

a = \frac{12 c (V_{d, \max})^{m - 1} (2 - m)}{(m + 2) (m + 3)}

(4)

b = \frac{20 c (V_{d, \max})^{m - 2} (m - 1)}{(m + 2) (m + 3)}

Siendo i = 0 para Vd = 0 y Vd,max el valor máximo de la velocidad de filtración en el intervalo considerado.

Conversión de

i = a V_{d} + b V_{d}^{2}

i = c V_{d}^{m}

(5)

m = \frac{5 a + 6 b V_{d, \max}}{5 a + 3 b V_{d, \max}}

(6)

c = \frac{(5 a + 4 b V_{d, \max}) (4 a + 3 b V_{d, \max})}{4 (5 a + 3 b V_{d, \max}) (V_{d, \max})^{m - 1}}

La modelación se ha realizado partiendo de una fórmula de resistencia de tipo exponencial. No obstante, si se dispone de una fórmula de tipo cuadrático para un material determinado, basta con la conversión mediante las anteriores fórmulas de George y Hansen. A partir de resultados obtenidos empíricamente, Parkin, Trollope y Lawson (1966)[2] definieron un nomograma que permite obtener el coeficiente c de la fórmula exponencial a partir del índice de huecos y la superficie específica del medio granular considerado. Así mismo, llegaron a la conclusión de que el exponente de dicha fórmula varía poco en torno al valor 1,85 próximo al valor 2 correspondiente a movimiento totalmente turbulento, y alejado del valor 1 correspondiente a movimiento laminar. La causa de que el exponente de la fórmula exponencial tenga un valor próximo a 2, pero sin llegar al mismo, ha sido objeto de controversia. Con independencia de cuál sea la explicación, es un hecho comprobado que el valor de dicho exponente se encuentra, en efecto, en dicho rango de variación.

3. Movimiento del agua. Planteamiento general del problema

Una vez conocida la fórmula de resistencia, puede plantearse el estudio del movimiento del agua a través de la escollera. El análisis diferencial conduce a un modelo matemático diferencial que se plantea como un problema de campo. El análisis se limitará al caso de movimiento permanente, bidimensional de un fluido viscoso e incompresible, el agua, en un medio poroso homogéneo e isótropo. En primer lugar es preciso definir el problema. Para ello debe conocerse la ecuación de campo que caracteriza el fenómeno físico: movimiento del agua a través de un medio poroso determinado, y las condiciones de frontera, que particularizan el problema para un caso concreto. Como resultado final del cálculo, se obtiene un campo de presiones y un campo de velocidades, si bien la ecuación de campo puede plantearse en términos de otras magnitudes, típicamente su potencial. En cualquier caso, una vez resuelto el problema, es posible conocer la presión y la velocidad en cualquier punto del dominio de filtración y, a través de la velocidad, el caudal de agua filtrado. Por tanto, el planteamiento del problema consiste en la definición de la ecuación de campo y de las condiciones de frontera. Cuando hablamos de resolver el problema, nos referimos a la determinación de las presiones y velocidades en cada punto del medio. Se dice que el problema está bien planteado cuando la solución existe y es única. Por otra parte, al plantear un problema de campo es necesario garantizar que la ecuación de campo se cumple en todo el dominio. El incumplimiento de esta condición invalida el planteamiento del problema.

4. Ecuación de campo

Consideremos una partícula de medio poroso de dimensiones suficientemente reducidas en relación con el dominio de filtración para que los procedimientos diferenciales sean aplicables: dxdy, y unos ejes de coordenadas ortogonales (x, y). Sea el vector velocidad de filtración en un punto:

(7)

V = u x + v y

siendo x e y vectores unitarios de dirección la de los ejes de coordenadas x e y respectivamente y sentido el definido como positivo.

Fig. 1. Partícula diferencial del medio poroso.

El caudal de agua que entra en la partícula de medio poroso es:

(8)

udy + vdx

El caudal que sale es:

(9)

(u + \frac{δ u}{δ x}) dy + (v + \frac{δ v}{δ y}) dx

Admitiendo que ni el agua ni los elementos sólidos sufren deformación volumétrica y que la partícula está saturada, el caudal de agua que entra en ella tiene que ser igual que el que sale (ley de conservación de la masa o principio de continuidad), de donde se obtiene:

(10)

\frac{δ u}{δ x} + \frac{δ v}{δ y} = 0

4.1. Medios porosos lineales

Si se cumple la ley de Darcy, tendremos que:

(11)

V = K i

siendo K el coeficiente de permeabilidad e i el gradiente hidráulico. Por tanto:

(12)

u = K \frac{dh}{dx}; v = K \frac{dh}{dy}

siendo:

h = z + \frac{p}{γ} : carga piezom \overset{´}{e} trica

Donde: z es la altura sobre el plano de referencia y p es la presión. En realidad, h es la carga hidráulica total, pero la carga de velocidad tiene en la práctica un valor muy bajo, despreciable frente al de la carga piezométrica. Sustituyendo (12) en (10)tenemos que:

(13)

\frac{δ}{δ x} (K \frac{δ h}{δ x}) + \frac{δ}{δ y} (K \frac{δ h}{δ y}) = 0

En un medio homogéneo e isótropo el coeficiente de permeabilidad es constante en todo el dominio. Por tanto:

(14)

\frac{δ^{2} h}{δ x^{2}} + \frac{δ^{2} h}{δ y^{2}} = 0

Esta es la conocida ecuación de Laplace, que gobierna el movimiento del agua en un medio poroso cuando se cumple la ley de Darcy. Se trata, por tanto, de la ecuación de campo para movimiento lineal.

Si consideramos el operador laplaciano:

(15)

Δ = \frac{δ^{2}}{δ x^{2}} + \frac{δ^{2}}{δ y^{2}}

la ecuación de Laplace puede expresarse:

(16)

Δ h = 0

4.2. Medios porosos no lineales

Diversos autores han desarrollado ecuaciones de campo para medios porosos no lineales basándose en una fórmula de resistencia de tipo exponencial o cuadrático.

Engelund (1953) y otros, considerando una fórmula de resistencia cuadrática con término lineal nulo, han llegado a la siguiente ecuación de campo.

(17)

\frac{δ^{2} h}{δ V^{2}} + \frac{2}{V^{2}} \frac{δ^{2} h}{δ α^{2}} = 0

siendo: h carga piezométrica, V la velocidad de filtración y α la inclinación del vector velocidad. A continuación veremos el desarrollo completo de las ecuaciones de campo de Parkin y de Volker para movimiento no lineal.

4.2.1. Ecuación de campo de Parkin

La ecuación de campo de Parkin (1971)se basa en una ley exponencial:

(18)

i = c V^{m}

admitiendo que los coeficientes c y m son constantes en el dominio de filtración. Estos coeficientes no varían de forma significativa en el rango de velocidades que se dan en la práctica, por lo que la hipótesis resulta aceptable. De (18) se obtiene que:

(19)

V = (i / c)^{1 / m}

Tanto la velocidad como la pérdida unitaria de energía se refieren a la dirección de avance del agua en el punto considerado (línea de corriente del movimiento en el medio poroso). En general, la relación puede expresarse en forma vectorial. Teniendo en cuenta que:

(20)

i = grad H

donde, despreciando la carga de velocidad queda:

(21)

V = {(\frac{1}{c})}^{1 / m} {|grad h|}^{\frac{1}{m} - 1} grad h

Admitiendo que el coeficiente c es constante, puede expresarse:

(22)

V = {(\frac{1}{c})}^{\frac{1}{m} - 1} {|grad h|}^{\frac{1}{m} - 1} grad (\frac{h}{c}) = {|grad (\frac{h}{c})|}^{\frac{1}{m} - 1} grad (\frac{h}{c})

y llamando:

(23)

ϕ = \frac{h}{c}

Se tiene:

(24)

V = {|grad ϕ|}^{\frac{1}{m} - 1} grad ϕ

Por definición del operador gradiente:

(25)

grad ϕ = \frac{δ ϕ}{δ x} x + \frac{δ ϕ}{δ y} y

Siendo x e y los vectores unitarios en las direcciones de los ejes cartesianos x e y respectivamente.

Sustituyendo en (24):

(26)

V = {|\frac{δ ϕ}{δ x} x + \frac{δ ϕ}{δ y} y|}^{\frac{1}{m} - 1} (\frac{δ ϕ}{δ x} x + \frac{δ ϕ}{δ y} y)

Por otra parte, tenemos que:

(27)

{|\frac{δ ϕ}{δ x} x + \frac{δ ϕ}{δ y} y|}^{\frac{1}{m} - 1} = {|\frac{δ ϕ}{δ x} x + \frac{δ ϕ}{δ y} y|}^{\frac{1}{2} (\frac{1}{m} - 1) 2} = {({|\frac{δ ϕ}{δ x} x + \frac{δ ϕ}{δ y} y|}^{2})}^{\frac{1}{2} (\frac{1}{m} - 1)} = {[{(\frac{δ ϕ}{δ x})}^{2} + {(\frac{δ ϕ}{δ y})}^{2}]}^{\frac{1}{2} (\frac{1}{m} - 1)}

Por tanto, sustituyendo en (26):

(28)

V = {[{(\frac{δ ϕ}{δ x})}^{2} + {(\frac{δ ϕ}{δ y})}^{2}]}^{\frac{1}{2} (\frac{1}{m} - 1)} (\frac{δ ϕ}{δ x} x + \frac{δ ϕ}{δ y} y)

En consecuencia, las componentes del vector velocidad

(29)

V = u x + v y

son:

(30)

u = \frac{δ ϕ}{δ x} {[{(\frac{δ ϕ}{δ x})}^{2} + {(\frac{δ ϕ}{δ y})}^{2}]}^{1 / 2 (1 / m - 1)}

(31)

v = \frac{δ ϕ}{δ y} {[{(\frac{δ ϕ}{δ x})}^{2} + {(\frac{δ ϕ}{δ y})}^{2}]}^{1 / 2 (1 / m - 1)}

Como hemos visto en el apartado anterior, la ecuación de continuidad aplicada a una partícula de medio poroso indeformable conduce a:

(32)

\frac{δ u}{δ x} + \frac{δ v}{δ y} = 0

Derivando las expresiones (30) y (31) respecto a x e y respectivamente, obtenemos:

(33)

\frac{δ u}{δ x} = \frac{δ^{2} ϕ}{δ x^{2}} {[{(\frac{δ ϕ}{δ x})}^{2} + {(\frac{δ ϕ}{δ y})}^{2}]}^{\frac{1}{2} (\frac{1}{m} - 1)} + \frac{δ ϕ}{δ x} \frac{1}{2} (\frac{1}{m} - 1) . {[{(\frac{δ ϕ}{δ x})}^{2} + {(\frac{δ ϕ}{δ y})}^{2}]}^{\frac{1}{2} (\frac{1}{m} - 1)} . (2 \frac{δ ϕ}{δ x} \frac{δ^{2} ϕ}{δ x^{2}} + 2 \frac{δ ϕ}{δ y} \frac{δ^{2} ϕ}{δ y δ x})

(34)

\frac{δ v}{δ y} = \frac{δ^{2} ϕ}{δ y^{2}} {[{(\frac{δ ϕ}{δ x})}^{2} + {(\frac{δ ϕ}{δ y})}^{2}]}^{\frac{1}{2} (\frac{1}{m} - 1)} + \frac{δ ϕ}{δ y} \frac{1}{2} (\frac{1}{m} - 1) . {[{(\frac{δ ϕ}{δ x})}^{2} + {(\frac{δ ϕ}{δ y})}^{2}]}^{\frac{1}{2} (\frac{1}{m} - 1)} (2 \frac{δ ϕ}{δ x} \frac{δ^{2} ϕ}{δ x δ y} + 2 \frac{δ ϕ}{δ y} \frac{δ^{2} ϕ}{δ y^{2}})

Sustituyendo las expresiones (33) y (34) en la ecuación de continuidad (32), obtenemos la ecuación de campo de Parkin.

(35)

(\frac{δ^{2} ϕ}{δ x^{2}} + \frac{δ^{2} ϕ}{δ y^{2}}) [{(\frac{δ ϕ}{δ x})}^{2} + {(\frac{δ ϕ}{δ y})}^{2}] + (\frac{1}{m} - 1) [{(\frac{δ ϕ}{δ x})}^{2} \frac{δ^{2} ϕ}{δ x^{2}} + 2 \frac{δ ϕ}{δ x} \frac{δ ϕ}{δ y} \frac{δ^{2} ϕ}{δ x δ y} + {(\frac{δ ϕ}{δ y})}^{2} \frac{δ^{2} ϕ}{δ y^{2}}] = 0

donde recordemos que:

ϕ = \frac{h}{c}; h = z + \frac{p}{γ}

Parkin, Trollope y Lawson (1966)hacen notar que, supuesto constante el coeficiente c, la anterior ecuación de campo es equivalente a otra en la que ϕ se sustituya por h, para obtener directamente la carga piezométrica. En consecuencia, la carga piezométrica (h), y por tanto la presión (p), dependen únicamente del exponente (m) de la fórmula de resistencia. La ecuación de campo (35) se reduce a la ecuación de Laplace, válida para movimiento lineal, cuando m =1, o lo que es lo mismo, cuando se cumple la ley de Darcy.

5. Condiciones de frontera

El fenómeno de filtración del agua a través del espaldón de una presa de escollera sometida a sobrevertido da origen a un problema de frontera mixto con superficie libre. Consideremos en primer lugar el movimiento del agua a través de una presa homogénea (fig. 2). Las condiciones de frontera son:

–: Tramo AB: la carga piezométrica es constante e igual a la altura de agua sobre la base (H). Se trata de una condición de tipo Dirichlet.
–: Tramo DE: análogamente, la carga piezométrica es en este caso H′. También es una condición de tipo Dirichlet.
–: Tramo AE: admitiendo que la base es impermeable, el caudal que circula a través de este tramo de frontera es nulo. Por tanto, se trata de una condición tipo Neumann.
–: Tramo BC: se trata de una superficie libre, cuya situación se desconoce a priori. La presión en todos sus puntos debe ser nula (referida a la presión atmosférica) y no puede circular agua a través de la misma. Se trata de una condición tipo Cauchy.
–: Tramo CD: la carga piezométrica viene dada por la altura sobre el plano de referencia, ya que la presión es nula por encontrarse en contacto con la atmósfera. La condición es de tipo Dirichlet.

Si el agua supera la cota de coronación se producirá el sobrevertido. Cuando la altura de lámina vertiente (HL) sea pequeña, la circulación superficial o exterior, sobre la coronación y el talud de aguas abajo, se reducirá a unos pocos metros. A partir de un determinado punto solo se producirá circulación interna a través del cuerpo de la presa (fig. 3a). A medida que aumenta la altura de lámina vertiente, el punto extremo de infiltración se desplazará hacia aguas abajo sobre el talud de la presa y el D lo hará hacia aguas arriba. Cuando la lámina sea suficientemente elevada, por ser el caudal de llegada al embalse netamente superior al que puede circular por el interior de la presa, se producirá movimiento superficial sobre toda la longitud del talud de aguas abajo (fig. 3b). La condición de frontera en la coronación y el paramento de aguas abajo puede plantearse como de potencial impuesto, pero desconocido a priori, que es preciso determinar mediante tanteos sucesivos de modo semejante a como se procede con los problemas de superficie libre. En realidad, se trata de determinar la geometría de la superficie libre del agua que circula sobre el talud de la presa. Por tanto, para determinar la situación de una superficie libre se sigue el siguiente proceso:

–: 1.° Se estima la situación de la superficie libre.
–: 2.° Se calcula la solución al problema, obteniéndose la presión en la superficie libre.
–: 3.° Si la presión no es nula en todos los puntos de la misma, se modifica su geometría, elevándola en la zona donde es positiva y reduciendo su cota donde es negativa.
–: 4.° Se vuelve a realizar el cálculo y el proceso se repite hasta que se consigue que la presión sea nula en todos los puntos de la superficie libre.

En el caso de que exista circulación sobre el talud de la presa, la condición que debe cumplirse es la que se explica a continuación. Se consideran dos secciones verticales separadas una cierta distancia Δx, siendo:

–: q1(2),e(i): caudal que atraviesa la sección 1 (2) circulando exteriormente (interiormente) sobre el talud de la presa (a través del cuerpo de la presa).
–: Δq1,2: caudal que pasa del exterior al interior de la presa (o viceversa, si el signo es negativo) entre las secciones 1 y 2.

Aplicando el principio de continuidad al recinto de medio poroso RSVU (fig. 4), tenemos:

(36)

q_{2, i} = q_{1, i} + Δ q_{1, 2}

El movimiento del agua sobre el talud es de caudal variable, dado que existe un intercambio de caudales con el interior de la presa.

Fig. 2. Presa homogénea sin elemento impermeable

Fig. 3. Fases de movimiento del agua sobre la presa a) Fase inicial b) Fase final.

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